Se stacchiamo tutti gli adesivi presenti sul cubo e li riattacchiamo a caso sulle faccette, abbiamo pochissime possibilità di ottenere una configurazione possibile partendo dal nostro Cubo, questo per vari motivi:
- i centri delle varie facce sono fissi ed immutabili;
- gli angoli non possono avere due faccette del medesimo colore;
- i colori delle varie faccette degli angoli sono fissati e non possono esser variati;
- gli spigoli non possono avere le due faccette del medesimo colore;
- i colori delle faccette degli spigoli sono fissati e non possono esser variati.
Allora, partiamo da una situazione un po' più reale. Smontiamo il nostro cubo nei suoi vari elementi ed otteniamo questa lista:
- una stella che ha i sei cubetti centrali;
- otto angoli, o cubetti vertice (CV);
- dodici spigoli, o cubetti spigolo (CS);
Se rimontiamo alla cieca i vari pezzi otteniamo un cubo, ora calcoliamo quanti cubi diversi possiamo formare in questo modo.
Per i CV abbiamo:
- 8! moltiplicato 38 equivalente a 8x7x6x5x4x3x2x1x38
cioè uguale a 7x5x32x27x38 = 40.320 x 6.561 = 7x5x310x27 = 264.539.520
(8 possibili posti per il primo CV, 7 per il secondo CV, 6 per il terzo, ecc. perché una
volta posizionato un cubetto una posizione è stata occupata. Tutto questo va moltiplicato
per 38. 3 perché i CV hanno 3 posizioni distinte, elevo tutto all'ottava perché ci sono 8 CV).
Per i CS abbiamo:
- 12! moltiplicato 212 equivalente a 12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1x212
cioè uguale a 11x7x52x35x210x212 = 479.001.600 x 4.096 = 11x7x52x35x222 = 1.961.990.553.600
(12 possibili posti per il primo CS, 11 per il secondo CS, 10 per il terzo, ecc. perché una volta posizionato un cubetto una posizione è stata occupata.
Tutto questo va moltiplicato per 212. 2 perché i CS hanno 2 posizioni distinte, elevo tutto alla
dodicesima perché ci sono 12 CS).
Se moltiplichiamo questi due numeri enormi otteniamo un numero incredibile, questo è il numero dei cubi diversi ottenibili con i vari pezzi rimontandoli alla cieca.
Scrivo qui questo numero suddiviso per numeri primi 11x72x53x315x229.
Proviamo ora a calcolare le varie configurazioni ottenibili partendo non dai vari pezzi sparsi, ma dal Cubo rimontato in posizione standard, ruotando le varie facce.
Per i CV abbiamo:
- 8! moltiplicato 37 equivalente a 8x7x6x5x4x3x2x1x37
cioè uguale a 7x5x32x27x37 = 40.320 x 2.187 = 7x5x39x27 = 88.179.840
(8 possibili posti per il primo CV, 7 per il secondo CV, 6 per il terzo, ecc. perché una volta posizionato un
cubetto una posizione è stata occupata. Tutto questo va moltiplicato per 37. 3 perché i CV hanno 3 posizioni
distinte, elevo tutto alla settima perché ci sono 8 CV, ma l'ultimo si troverà orientato automaticamente).
Per i CS abbiamo:
- 12! moltiplicato 211 equivalente a 12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1x211
cioè uguale a 11x7x52x35x210x211 = 479.001.600 x 2.048 = 11x7x52x35x221 = 980.995.276.800
(12 possibili posti per il primo CS, 11 per il secondo CS, 10 per il terzo, ecc. perché una
volta posizionato un cubetto una posizione è stata occupata. Tutto questo va moltiplicato per 211.
2 perché i CS hanno 2 posizioni distinte, elevo tutto all'undicesima perché ci sono 12 CS,
ma l'ultimo si troverà orientato automaticamente).
Esiste un altro problema, per poter calcolare tutte le configurazioni possibili. Si chiama regola della parità
che dice che le posizioni possibili a partire da una posizione sono solo la metà di quelle appena calcolate.
Cioè 88.179.840 x 980.995.276.800 / 2 questo è uguale a 43.252.003.274.489.856.000.
A questo punto nasce una curiosità. Che rapporto esiste tra il numero di configurazioni
possibili rimontando il cubo alla cieca, e il numero di configurazioni possibili partendo
da un cubo reale facendo ruotare le varie facce? Questo numero è 12.
Questo significa che esistono 12 possibili cubi di partenza di cui uno soltanto è il
nostro cubo di base. Ovviamente una qualunque configurazione ottenibile da uno di questi cubi
di partenza non è ottenibile con nessun altro cubo tra gli altri 11 cubi di partenza.
È come dire che il cubo ha 12 orbite distinte come fossero tanti pianeti e che
le loro orbite non si intersecano in nessun punto.
Ecco spiegato il motivo per cui alcune configurazioni che si possono creare rimontando il Cubo alla cieca non si possono poi ricreare partendo dal Cubo nella posizione standard utilizzando le 6 mosse possibili.
Suggerito da Veriano Veracini
